Timoi_Vladimir

Контрольная работа по теме

"ИНФОРМАЦИЯ И ИНФОРМАЦИОННЫЕ ПРОЦЕССЫ.

ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ИНФОРМАЦИИ ".

ВАРИАНТ 2

1. Для кодирования сообщения, состоящего только из букв А, Б, В и Г, используется неравномерный по длине двоичный код:

А      Б        В          Г

00   11       010      011

Если таким способом закодировать последовательность символов ГБВАВГ и записать результат в шестнадцатеричном коде, то получится:

1) 71013₁₆   2) DBCACD₁₆                3) 31A7₁₆         4) 7A13₁₆

 

Решение:

Нам дана из условия последовательность символов ГБВАВГ. Используя двоичный код запишим эту последовательность в двоичной системе счисления: 0111101000010011

Для перевода в шестнадцатиричную систему счисления разобьём число на тетрады: 0111.1010.0001.0011

Используя таблицу перевода системы счисления получаем ответ в шестнадцатиричной системе счисления - 31A7₁₆

 

Ответ:  3) 31A7₁₆ .

 

2. Производится двухканальная (стерео) звукозапись с частотой дискретизации 44,1 кГц и глубиной кодирования 24 бит. Запись длится 1 минуту, ее результаты записываются в файл, сжатие данных не производится. Какое из приведенных ниже чисел наиболее близко к размеру полученного файла, выраженному в мегабайтах?

1) 11      2) 12    3)  13              4)  15

Решение:

Количество информации, которое будет записано в файл можем определить по следующей расчётной формуле N=k*v*l*t, где N-количество информации записанное в файл, k-количество каналов, v-частота дискретизации, l-глубина кодирования, t-время записи информации, тогда

N=2*44,1*10^3*24*60=127008000 бит, переведём в Мбайты

N=127008000/8/1024/1024=15 Мбайт.

 

3. Передача данных через ADSL-соединение заняла 2 минуты. За это время был передан файл, размер которого 3 750 Кбайт. Определите минимальную скорость (бит/c), при которой такая передача возможна.

 

Решение:

Из условия нам дано время передачи данных t=2 минуты = 120 секунд и размер передаваемого файла N=3750 Кбайт=3840000 байт = 30720000 бит.

Нам необходимо найти скорость передачи данных,её можно найти по формуле v=N/t.

Подставим значения, получим : v=30720000/120=256000 бит/с

Ответ: Минимальная скорость передачи данных v=256000 бит/с

 

4. Все 5-буквенные слова, составленные из букв К, О, Р, записаны в алфавитном порядке и пронумерованы. Вот начало списка:

1. ККККК

2. ККККО

3. ККККР

4. КККОК

……

Запишите слово, которое стоит под номером 238.

Решение:

Для удобства можем воспользоваться следующим методом решения

буквы  К, О, Р - обозначим как символы троичной системы, т.е К-0, О-1, Р-2, следующий шагом будет нахождение всех возможных вариантов сочетаний слов

3^5=243, отсчёт начнём с 0 и следовательно вариант слова стоящий под номером 238 в нашем случае будет находиться под номером 237, теперь переведём 237 из десятеричной в троичную систему

237/3

237 79/3

    0 6  26/3

       19 24 8/3

       18    2 6  2

          1       2

после перевода получим 23710=222103, далее каждую цифру заменим соответствующей буквой и получим на позиции 238 комбинацию РРРОК.

 

5. В некоторой стране автомобильный номер длиной 6 символов составляется из заглавных букв (всего используется 12 букв) и десятичных цифр в любом порядке. Каждый символ кодируется одинаковым и минимально возможным количеством бит, а каждый номер – одинаковым и минимально возможным целым количеством байт. Определите объем памяти в байтах, необходимый для хранения 32 автомобильных номеров.

 

Решение:

Необходимо закодировать: 12 букв + 10 цифр = 22 символа

Для кодирования необходимо 5 бит, т. к. 16<22<32; 32=2^5;

Для кодирования одного номера нужно:  5*6=30 бит

30 нацело на 8 не делится,значит округляем 30 до 32, т.к. по условию дано, что номер должен кодироваться целым количеством байтов

32:8=4 байта - требуется для кодирования одного номера

4*32=128 байт - требуется для хранения 32 номеров

Ответ: 128 байт требуется для хранения 32 номеров.

 

6. Сколько значащих нулей в двоичной записи числа 48?

1) 1            2)  2     3)  4               4) 6

Решение:

Для начала переведём  число 48 из десятичной в двоичную

48/2

48 24/2

 0 24 12/2

       0 12 6/2

             0 6 3/2

                 0 2 1

                     1

запишем 4810=1100002

количество значищих нулей равно 4.

 

7. Укажите через запятую в порядке возрастания все основания систем счисления, в которых запись числа 63 оканчивается на 23.

Общий подход:

1.Неизвестно основание системы счисления, мы обозначим его через N.

2.Поскольку последняя цифра числа – 23, основание должно быть больше 23, то есть N>23

3.вспомним алгоритм перевода числа из десятичной системы в систему с основанием N,из него следует, что младшая цифра результата – это остаток от деления исходного числа на N.

 

Решение:

1. итак, нужно найти все целые числа N>=23, такие что остаток от деления 63 на N равен  23, или (что то же самое)                  63=K*N+23      (*)

   где K– целое неотрицательное число (0, 1, 2, …);

2. сложность в том, что и K, и  N,  неизвестны, однако здесь нужно «играть» на том, что это натуральные числа .
3. из формулы (*) получаем  K*N= 40, так что задача сводится к тому, чтобы найти все делители числа 40, которые больше 23.
4. в этой задаче есть только один делитель: N=40.
5. таким образом, верный ответ -40.

 

8.Дано логическое выражение, зависящее от 5 логических переменных:

(¬x1 ∨ ¬x2 ∨ ¬x3 ∨ x4 ∨ x5) ∧ (x1 ∨ x2 ∨ x3 ∨ ¬x4 ∨ ¬x5)

Сколько существует различных наборов значений переменных, при которых выражение истинно?

1) 0 2) 30    3) 31    4) 32

 

Решение: нужно найти наборы, на которых значение истинно. Всего наборов для 5 переменных 32, т.к количество общих наборов считаем следущим образом: 2^n, где n - количество переменных, а 2 - значение, которое может принимать логическая переменная(то есть “истина” либо “ложь”). Вычитаем один набор, на котором выражение ложно, получаем:

                     32-1=31.

Ответ: 31.

 

9. На числовой прямой даны два отрезка: P = [25, 30] и Q = [15, 20]. Выберите такой отрезок A, что формула

( (x ∈ А) → (x ∈ P) ) \/ (x ∈ Q)

тождественно истинна, то есть принимает значение 1 при любом значении переменной х.

1) [10, 15]  2) [12, 30]       3) [20, 25]       4)[26, 28]

 

     Решение: вве­дем обо­зна­че­ния

(x ∈А) ≡ A; (x ∈ P)≡P; (x ∈ Q)≡Q.

При­ме­нив пре­об­ра­зо­ва­ние им­пли­ка­ции, по­лу­ча­ем:

¬A ∨ P ∨ Q.

Ло­ги­че­ское ИЛИ ис­тин­но, если ис­тин­но хотя бы одно утвер­жде­ние. По­сколь­ку все вы­ра­же­ние долж­но быть ис­тин­но для лю­бо­го x, вы­ра­же­ние ¬A долж­но быть ис­тин­но на мно­же­стве (−∞, 15) ∪ (30, ∞) ∪ [20; 25]. Со­от­вет­ствен­но, вы­ра­же­ние A долж­но быть ис­тин­но внут­ри от­рез­ков [15;20) и (25;30].

Из всех от­рез­ков толь­ко от­ре­зок [26;28] удо­вле­тво­ря­ет этим усло­ви­ям.

Ответ: 4.

 

10. Некоторый сегмент сети Интернет состоит из 1000 сайтов. Поисковый сервер в автоматическом режиме составил таблицу ключевых слов для сайтов этого сегмента. Вот ее фрагмент:

Ключевое слово	Количество сайтов, для которых данное слово является ключевым
сомики	250
меченосцы	200
гуппи	500

Сколько сайтов будет найдено по запросу

сомики | меченосцы | гуппи

если по запросу  сомики & гуппи было найдено 0 сайтов, по запросу
сомики & меченосцы – 20, а по запросу меченосцы & гуппи – 10.

Решение:

Нужно нарисовать 2 круга отдельно (сомики и гуппи) и круг для меченосцев (он пересекается с сомиками и гуппи) Все складываем, а области пересечения вычитаем. 250+200+500-20-10=920

 

11. Сколько различных решений имеет система уравнений?

(x₁ → x₂) ∧ (x₂ → x₃) ∧ (x₃ → x₄) ∧ (x₄ → x₅) = 1

(у₁ → у₂) ∧ (у₂ → у₃) ∧ (у₃ → у₄) ∧ (у₄ → у₅) = 1

x₂ ∨ y₂  = 1

где x₁,x₂,…,x_5, у₁,у₂,…,у₅ – логические переменные? В ответе не нужно перечислять все различные наборы значений переменных, при которых выполнено данное равенство. В качестве ответа нужно указать количество таких наборов.

Решение:

1)  видим, что первые два уравнения независимы друг от друга (в первое входят только x₁, x₂, …, x₅ а во второе – только y₁, y₂, …, y₅)

2) третье уравнение связывает первые два, поэтому можно поступить так:

·    найти решения первого уравнения

·    найти решения второго уравнения

·    найти множество решений первых двух уравнений

· из множества решений первых двух уравнений выкинуть те, которые не удовлетворяют последнему уравнению

3)  найдем решения первого уравнения; каждая из логических переменных x₁, x₂, …, x5  может принимать только два значения: «ложь» (0) и «истина» (1), поэтому решение первого уравнения можно записать как битовую цепочку длиной 4 бита: например, 0011 означает, что

x₁ = x₂ = 0 , x₃ = x₄ = 1 ,x₄=x₅ =0;

 

4) вспомним, что импликация x₁x₂ ложна только для x₁ = 1 и x₂ = 0, поэтому битовая цепочка, представляющая собой решение первого уравнения, не должна содержать сочетания «10»; это дает такие решения (других нет!):

(x₁, x₂, x₃, x₄ ,y₅,x₅ ) = 0000    0001    0011    0111   1111

 

5) видим, что второе уравнение полностью совпадает по форме с первым, поэтому все его решения:

(y₁, y₂, y₃, y₄,y₅) = 0000           0001    0011    0111    1111

 

6)  поскольку первые два уравнения независимы друг от друга, система из первых двух уравнений имеет 5·5=25решений: каждому решению первого соответствует 5 разных комбинаций переменных y₁, y₂, …, y₄, которые решают второе, и наоборот, каждому решению второго соответствует 5 разных комбинаций переменных x₁, x₂, …, x₄, которые решают первое:

(y₁, y₂, y₃, y₄,y₅) =     0000       0001     0011     0111             1111

(x₁, x₂, x₃, x₄,x₅ ) =    0000        0000     0000     0000        0000

    0001            0001     0001     0001             0001

                                                                 0011        0011     0011     0011   0011

                                                                 0111        0111     0111     0111   0111

                                                                 1111        1111       1111     1111      1111

7)      теперь проверим, какие ограничения накладывает третье уравнение; вспомнив формулу, которая представляет импликацию через операции «НЕ» и «ИЛИ» (A→B= ¬ A+B), можно переписать третье уравнение в виде

(y₁ →x₁) ^ (y₂ →x₂) ^(y₃ →x₃) ^ (y₄ →x₄)^ (y₅ →x₅) = 1

8)        импликация y₁ →  x₁ ложна только для y₁ = 1 и x₁ = 0, следовательно, такая комбинация запрещена, потому что нарушает третье уравнение; таким образом, набору с y₁ = 1:

(y₁, y₂, y₃, y₄,y₅) = 1111

соответствует, с учетом третьего уравнения, только одно решение первого, в котором x₁ = 1

(x₁, x₂, x₃, x₄,x₅) = 1111

поэтому множество решений «редеет»:

(y₁,y₂,y₃,y₄,y₅) =    0000   0001     0011     0111 1111 (x₁,x₂,x₃,x₄,x₅) =    0000   0000     0000     0000    

                  0001   0001     0001    0001    

0011   0011     0011      0011    

0111   0111     0111    0111  

                  1111   1111    1111     1111     1111

 

9. аналогично двигаемся дальше по третьему уравнению; второй сомножитель равен 0, если импликация y₂→x₂ ложна, то есть только для  

   y₂ = 1 и x₂ = 0, это «прореживает» предпоследний столбец:

(y₁, y₂, y₃, y₄,y₅) =    0000      0001     0011     0111   1111

(x₁, x₂, x₃, x₄,x₅) =    0000      0000     0000     

       0001     0001     0001

                     0011     0011     0011         

                     0111     0111     0111          0111   

                                                                 1111     1111     1111     1111         1111

10. аналогично проверяем еще два ограничения, отбрасывая все решения, для которых y₃ = 1 и x₃ = 0, а также все решения, для которых y₄ = 1 и x₄ = 0:

(y₁, y₂, y₃, y₄) =     0000     0001     0011     0111    1111

(x₁, x₂, x₃, x₄) =    0000    

    0001            0001    

             0011         0011     0011    

             0111         0111     0111      0111           

             1111        1111     1111      1111     1111

 

Итак, остается одно решение при (y₁, y₂, y₃, y₄)=1111, два решения при (y₁, y₂, y₃, y₄)=0111, три решения при(y₁, y₂, y₃, y₄)=0011, четыре решения при(y₁, y₂, y₃, y₄)=0001 и 5 решений при (y₁, y₂, y₃, y₄)=0000

 

Ответ:данная система уравнений имеет 15 решений